Тимур Сулейманов родился в Дербенте в табасаранской семье; в девять лет переехал в Москву. Футболом начал заниматься в московской школе олимпийского резерва «Сокол». Первым тренером был Виктор Фёдорович Артюхов. Затем перешёл в академию «Локомотива». В марте 2018 года дебютировал за молодёжную команду «железнодорожников» в матче со «Спартаком», выйдя на замену в конце матча. Всего до конца сезона провёл 8 игр, в которых забил 4 мяча. В июле впервые был вызван на сбор основного состава «Локомотива». В составе молодёжной команды «Локомотива» принимал участие в Юношеской лиге УЕФА. 18 сентября в первом туре с «Галатасараем» забил единственный мяч в игре. По итогам группового турнира «Локомотив» занял второе место, а в стыковых играх в серии послематчевых пенальти проиграл загребскому «Динамо». В сезоне 2018/2019 с 19-ю мячами наряду с Данилой Прошляковым стал лучшим бомбардиром молодёжного первенства России. В матче последнего тура с «Уфой» Сулейманов отметился четырьмя забитыми мячами. 17 июля 2019 года дебютировал в профессиональном футболе за «Казанку» в Первенстве ПФЛ в матче с «Коломной». В следующей игре с «Родиной» забил свой первый мяч. 11 августа 2019 года дебютировал в российской премьер-лиге за основной состав «Локомотива». В матче с «Уралом» при победном счёте 4:0 Сулейманов вышел на поле на 85-й минуте вместо Алексея Миранчука. 26 июня 2021 года заключил контракт с футбольным клубом «Нижний Новгород».