Евгений — воспитанник академии донецкого «Шахтёра». В 2009 году он начал играть во Второй лиге Украины за фарм-клуб «Шахтёр-3» и провёл за него 30 матчей. В 2011 году Гальчук был зачислен в дубль главной команды «Шахтёра». В июле 2012 года Евгений стал игроком мариупольского «Ильичёвца». Гальчук выступал за юношеские сборные и молодёжную сборную Украины.