Барак — воспитанник клуба «Пршибрам» из своего родного города. 1 июня 2013 года в матче против «Слована» он дебютировал в Гамбринус лиге. Летом 2014 года для получения игровой практики Антонин на правах аренды перешёл в клуб Второй лиги «Селье и Белло». Летом 2015 года после её окончания Барак вернулся в «Пршибрам». 24 октября в поединке против «Баника» он забил свой первый гол за родной клуб. В начале 2016 года Антонин перешёл в столичную «Славию». 13 февраля в матче против «Зброёвки» он дебютировал за новую команду. 8 мая в поединке против «Словацко» Барак сделал «дубль», забив свои первые голы за «Славию». В начале 2017 года Барак подписал соглашение с итальянским «Удинезе», которое начинает действовать с лета. В том же сезоне он помог «Славии» выиграть чемпионат. Летом 2017 года Антонин присоединился к итальянской команде. 27 августа в матче против СПАЛа он дебютировал в итальянской Серии A. 25 октября в поединке против «Сассуоло» Барак забил свой первый гол за «Удинезе».