Ло Чельсо — воспитанник клуба «Росарио Сентраль» из своего родного города. В 2014 году он был включён в заявку основной команды. 19 июля 2015 года в матче против «Велес Сарсфилд» Джовани дебютировал в аргентинской Примере, заменив во втором тайме Виктора Саласара. В своём дебютном сезоне он помог «Росарио» выйти в финал Кубка Аргентины. 25 февраля 2016 года в поединке против уругвайского «Насьоналя» Ло Чельсо дебютировал в Кубке Либертадорес. Спустя три дня в матче против «Колона» он забил свой первый гол за «Росарио Сентраль». В апреле появилась информация, что французский «Пари Сен-Жермен» близок к покупке футболиста. Ранее интерес к Джовани проявляли также испанский «Атлетико Мадрид», итальянский «Ювентус» и английские «Манчестер Сити», «Манчестер Юнайтед», «Челси». 27 июля 2016 года Ло Чельсо подписал пятилетний контракт с «Пари Сен-Жермен». Сумма трансфера составила 8,5 млн фунтов. По условиям соглашения ещё полгода Джованни проведёт в «Росарио Сентраль» на правах аренды. В начале 2017 года Ло Чельсо вернулся в ПСЖ. 22 апреля в матче против «Монпелье» он дебютировал в Лиге 1, заменив во втором тайме Марко Верратти. 3 февраля 2018 года в поединке против «Лилля» Джованни забил свой первый гол за ПСЖ. В 2018 году Ло Чельсо стал чемпионом Франции. Летом 2018 года Джованни на правах аренды перешёл в испанский «Бетис». 15 сентября в матче против «Валенсии» он дебютировал в Ла Лиге. 4 октября в поединке «Лиги Европы» против «люксембургского» «Ф91 Дюделанж» Ло Чельсо забил свой первый гол за «Бетис».